POSTS / 日常心算星期

之前，在网上偶然看到一种 心算某一天是星期几 的实用算法。原文：心算某一天是星期几——康威裁决日算法 – 大老李聊数学

发明者是 数学家 J. H. 康威（John Horton Conway）——怎么又是你🤣。他喜欢“不务正业”，在趣味数学中贡献巨大，提出过生命游戏、超现实数、边看边说序列之类许多有趣又深刻的内容¹。

康威发明的这个算法简单实用，只需少量记忆和计算，完美符合日常生活场景需求。我试过几次后就喜欢上了，到现在差不多已经用了一年多了。熟悉这个算法后，我日记里都彻底不写星期了。

我也经常反向使用这个算法根据星期推算日期（可能频率比用日期推星期还高些），因为我总是记不清今天是几号……

由于真的在用，所以也有做些调整。本文会基于我的实践经验，重新梳理康威提出的这个心算星期几的算法，使之能够轻松用于日常生活。并补充了一点数学推导来解释这个神奇的算法为什么是对的。

因此有些地方与大老李的文章稍有不同，可能不做标注。

注：以下经常使用「对7取模」。因为1星期=7天，算出“星期八”甚至“星期十五”时应当能够正确地对7取模得到「星期一」。

核心原理

如果我们已经知道了本月某一天的星期，那么计算其他天的星期就很容易了。比如，已知 7月11日 是周五，那么就能算出 9日是周三、14日是周一，以此类推。

那么，我们只要为1年12月的每个月都背下某一天的星期，不就可以心算每一天的星期了吗？但是这样要背12个日期的星期，未免记忆量过大，还容易出错。

康威算法的精髓就在于，它在每个月中挑选出特殊的一天作为基准点，称作“裁决日”(Doomsday)，这些裁决日具有相同的星期，又容易记忆。

2月是一年中唯一天数会变化的月份（平年28天，闰年29天）。因此，康威将「2月的最后一天」作为裁决日。这很自然，而且还可以自动处理闰年问题。

那么其他月呢？我们要求它们的裁决日与2月的最后一天具有相同的星期，然后尽量好记。

1月、2月、3月特殊处理；4月到12月：

• 偶数月：4月4日、6月6日、8月8日、10月10日、12月12日。日期=月数，很好记。
• 奇数月：5月9日，9月5日，7月11日，11月7日。朝九晚五、7-11便利店。

1月、2月、3月：

• 2月的最后1天，2月28/29日。或者减去4周，得到 0/1日。我更喜欢后者，更方便计算。
• 3月是3月0日。不难注意到，“3月0日”=2月的最后一天。
• 1月的3/4日，取决于是否是闰年。1314 谐音“一生一世”。

只要算一算裁决日之间间隔的天数，就能知道它们为什么具有相同的星期——日期之差恰好是7的倍数。比如，偶数月的裁决日日期总要+2的原因是30+31 ≡ 5 ≡ -2 (mod 7).

高度优化的算法

不知道如何用自然语言简明阐述，直接上伪代码吧。

按顺序提供几个函数：

1. 日期和星期之间的偏移量（星期减日期）已知。反向使用就是 星期=>日期。
2. 同月份的某日的星期已知。
3. 同年份的裁决日的星期已知。

fn day_to_weekday(&self, day) {
    (day + self.offset) % 7
}

fn weekday_to_day(&self, weekday) {
    (day - self.offset) % 7
}

fn set_offset(&mut self, doomsday) {
    self.offset = (self.doomsweekday - doomsday) % 7
}

fn doomsday(month) -> {
    match month {
        1 => if is_leap_year() { 4 } else { 3 }, // 一生一世
        2 => if is_leap_year() { 1 } else { 0 }, // 或 if is_leap_year() { 29 } else { 28 } 
        3 => 0, // 3月0日 = 2月的最后一天
        4 | 6 | 8 | 10 | 12 => month,
        5 => 9, // 朝九
        9 => 5, // 晚五
        7 => 11, // 7-11
        11 => 7, // 7-11
        _ => unreachable!("Month must be between 1 and 12")
    }
}

根据实践经验优化了方案：月内专门缓存一个“偏移量”，而不总是从裁决日开始推。这样可以减少计算步骤。

比如，2025年7月的裁决日11日是周五，那么偏移量是 5-11 ≡ -6 ≡ +1 (mod 7)，那么我在这个月里只需要记住偏移量 +1就可以了。这样，下次计算时就可以将2次加减法减少为1次。比如计算25日的星期：25+1=26，模7得5，所以25日是星期五，轻松心算。

例题：已知2025年的裁决日是星期五。请问2025年的9月30日是星期几？

1. “朝九晚五”，9月的裁决日是5日。
2. 那么5日是星期五，偏移量5-5=0.
3. 30日的星期是(30 + 0) % 7 = 2.

2025年的9月30日是星期二²。

计算某年的裁决日星期

要心算其他年份的某个日期的星期怎么办？把每一年的裁决日星期都背下来，也太难了，难免会记不清。

康威当然也研究了这类情况。我们可以记下某个“基础年份”的裁决日星期，然后计算目标年份与基础年份的“偏移量”，就可以算出目标年份的裁决日星期了。基础年份通常取「世纪首年」。

为什么取世纪首年？因为闰年在100的倍数又有特判（闰年的定义：能被4整除但不能被100整除的年份，或者能被400整除的年份），考虑进来的话就太麻烦了，限制在同一世纪内可以避开这条规则🤣。

具体来说，其实我们只会用到2个世纪：

$ date -d 2000-02-29 +%A
星期二

$ date -d 1900-02-28 +%A # 这个我一次都没用到过
星期三

那么接下来把 目标年份相对于基础年份的偏移量 算出来就好了。康威对此也给出了一个漂亮的算法，我用自己的方式重新陈述如下，绝对好记又好算。

计算给定年份的裁决日星期：

1. 取两位年份；
2. 浮现一个对12的带余除法，维护商和余数；
3. 把注意力集中在余数，算出除以4的商放在下面；
4. 商下面的空位正好放置基准年的裁决日星期；
5. 把脑海中的这4个数模7求和。

12 和 4 这两个数都非常容易联想：一年共有12个月，闰年是每4年一次。太完美了！

虽然后面推导时会发现这里的12跟一年12月没有任何关系，但不影响我们这样记忆。

例题：2026年1月1日是星期几？

首先计算 2026年 的裁决日星期。

1. 取两位年份：26
2. 浮现一个对12的带余除法，维护商和余数：26 / 12 = 2 ... 2

3. 把注意力集中在余数，算出除以4的商放在下面：2 // 4 = 0

4. 商下面的空位正好放置基准年的裁决日星期：2000年的裁决日是星期2。

5. 把脑海中的这4个数模7求和：6.

2026年的裁决日是星期六。

这年是平年，1月的裁决日是3日。偏移量是6-3=3。那么1日的星期就是1+3=4.

2026年1月1日是星期四³.

大老李还介绍了另一个“奇+11”算法；但那个算法光是「包含分支」就让我避而远之了，不值一提。

算法推导

上面这个算法看起来很难相信是正确的：又商又余数又再除一次再全加起来，这就对了？12是怎么回事？

此外，我们也想知道，会不会有更方便的算法？

所以来推导一下吧。

基本原理：365 % 7 =1，366 % 7 = 2。裁决日星期每年+1，闰年再额外多+1。

则有递推公式：

doomsweekday += 1 + is_leap_year()

——其实，这个递推公式本身就很实用了：每年根据「今年是不是闰年？」，在去年的基础上更新一下即可。

而由于经常用到，当年的裁决日星期很自然地就会记下来，然后就无需重新计算了。比如2025年的裁决日星期是周五，敲这句话我不假思索。读者不难验证：2024年的裁决日星期是周四，2026年是周六、2027年是周日，而2028年是周二。

不过，要算其他年份的话还是不方便，还是需要通项公式。继续推导吧。

根据这个递推公式，可以立刻得到计算偏移量的最直接的算法：yy + yy // 4. 其中yy指两位年份。

但这显然不便于心算！

平年+1，闰年+2，这样 连续4年则模7余5。我们当然想凑个简单的，比如余0或余1。

显然连续28年则余0。逐个计算过去还能发现一个很不错的：连续12年则余1。

以28年为一组，则得 let remainder = yy % 28; remainder + remainder // 4。

以12年为一组，则得 let (quotient, remainder) = divmod(yy, 12); quotient + remainder + remainder // 4。

实践表明，以12年为一组，中间数值都很小，最方便心算。并且12恰巧能与「1年12月」对应上，非常好记。这正是康威原版算法。

更一般的情况？

更一般的情况的话，要应对闰年在100和400倍数时的特殊处理，麻烦很多，算了吧。反正这已经不是日常了，可以从容动用工具。

例：